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弁言CFS，CFT，DTFT，DFS，DFT，FFT
上述6种傅里叶有何种联系与差异？
我在上学的时候，最先面对的是傅里叶级数CFS，还算勉强接管，毕竟《高档数学》有一章的内容便是"级数"。
图1 傅里叶级数展开动图；来源：低廉甜头
连续韶光傅里叶级数CFS之后，便是傅里叶变换CFT了。
傅里叶变换CFT，便是将CFS的周期看作无穷大，勉强能懂。
但在这个时候，老师见告我们，实在周期旗子暗记也可以用傅里叶变换CFT来表示，
由于有一个冲激函数δ的存在。
好吧，傅里叶变换统一了周期与非周期旗子暗记，也挺好！
直到Z变换、离散韶光傅里叶变换DTFT、DFT、FFT的涌现，自此逐渐地走向猖獗，沉迷于公式中无法自拔。
图2 上学时的6种傅里叶变换；来源：Pixabay自绘
嫡黄花，那些公式一贯在，改变的却是自己看待问题的角度。尤其当我事情中处处利用或者向别人讲解之时，感触尤为明显。
有三点Tips，希望对大家理解本文或者傅里叶变换有所帮助：
傅里叶变换是一种数学变换；不要沉迷于公式；让芯片或者打算机帮助我们傅里叶变换；这三条TIP的释义，将贯穿文章始终。
从1张图提及如果在这里，放入公式，很多读者一定弃之。
由于这和教材无异：从开始到结束，每一步如何得到，逻辑很强，“微不雅观”层面自然不在话下。
但不适宜宏不雅观角度的阐发。
图3 方波旗子暗记分解身分歧频率的正弦波
傅里叶级数，我不再赘述了，想要理解的，可以看我之前文章。
这里放一张用Matlab低廉甜头的一幅图。
图4 从傅里叶变换CFT到离散傅里叶变换DFT；来源：低廉甜头
这一幅图是这篇文章的核心。
(a)行是连续韶光傅里叶变换CFT，值得把稳的是，这实在是一个周期余弦函数cos，角频率ω1=2π/5，只不过图中只画出了[-10,10]的部分。
那么根据《旗子暗记与系统》的知识，周期余弦函数的傅里叶变换为冲激函数。
图5 周期余弦旗子暗记的傅里叶变换CFT；来源：网络
(a1)为余弦旗子暗记cos(2π/5t)，(a2)为其傅里叶变换，在±2π/5均有一个冲激，幅度大小为π。
(b)行也是连续韶光傅里叶变换CFT，也是余弦函数cos，(b1)和(a1)看起来一样。
但实在并不一样，(b1)是在(a1)的根本上，只截取[-τ/2,τ/2]区间的余弦cos函数，相对付无限长的周期余弦旗子暗记，加了一个窗，窗口的大小为τ。
(b1)的函数即是cos(2π/5t)乘以Gτ(t)，Gτ(t)为窗函数，τ=20。
性子：
时域的乘积对应频域的卷积；与冲激函数δ(t-t0)旗子暗记相卷积的结果，相称于把函数本身延迟t0；以是，在频域中(b2)的波形，便是将窗函数的频域波形，向±2π/5处平移。
图6 加窗余弦旗子暗记的傅里叶变换；来源：网络
我们知道打算机、数字旗子暗记处理器DSP都是处理离散旗子暗记的，而以上我们谈论的，还都是连续韶光旗子暗记。
以是，一定会想到对数据进行抽样，或者说是采样，使其离散化。
那么，现在我们对(b1)的加窗余弦旗子暗记，进行采样，采样率为2Hz，采样间隔Ts = 0.5s。
为了便于看清楚采样的过程，我把原来的余弦旗子暗记用玄色虚线画出，采样的点用柱状线画出，见(c1)。
性子：
时域的离散化，频域就会周期化。时域的采样周期为ωs，且频域的延拓周期ws；以是采样的结果，便是频域在(b2)的根本上进行周期延拓。
对付(c1)的离散韶光旗子暗记求傅里叶变换，便是我们说的离散韶光傅里叶变换DTFT。
求出的结果是(b2)根本上的周期延拓，一定是连续的、周期的函数，见(c2)；
但此时，频域仍旧是连续的函数。
以是，我们在对频域(c2)函数进行采样。
同理，频域的采样，一定造成时域函数的周期性延拓。
此时，韶光域和频域都是周期的、离散的，这便是离散傅里叶级数DFS。
如果我们只取一个周期出来剖析，便是离散傅里叶变换DFT。这个周期也称之为主值区间。
所谓的快速傅里叶变换FFT便是DFT的快速打算方法，不是什么新鲜玩意。
(d1)和(d2)便是DFT/FFT的过程，时域和频域均已离散化，适宜打算机处理。
他山之石之前的文章[1]中，也剖析过这个过程，可以参照图7。
图7 四种经典的傅里叶变换；来源：郑君里旗子暗记与系统截图
图7中(a)为连续韶光的傅里叶变换，(b)为周期旗子暗记的傅里叶级数，(c)为离散韶光傅里叶变换DTFT；
可以看出对时域旗子暗记采样的过程，采样间隔为Ts；频域旗子暗记明细延拓为周期旗子暗记了，周期为fs=1/Ts；
(d)为离散傅里叶级数DFS，对频域采样，时域延拓。
图8 傅里叶之间的关系，来源BitArt
网络上很多小伙伴转载了图8，我查了下源头，为BitArt的博客，文末附上原文地址[2]。
图8说的也非常棒，他用一个三角形波形来做阐明，看起来可能更加的直不雅观。
至于我为什么选择余弦旗子暗记，由于我紧张想让读者理解加窗的含义，也便是图7 a行和b行的差异。如果这个搞稠浊了，那也谈不上理解其他的了。
图8(1)是一个模型三角形旗子暗记，对其进行傅里叶变换得到图8(2)。
由于打算机要处理数字旗子暗记，以是须要离散化的过程，离散离不开采样，图8(2)(3)便是采样的脉冲序列和频谱，根据上文所说的性子
我们可以得到图8(4)(5)，此时图8(5)已经是离散旗子暗记了，以是图8(6)的变换，称之为离散韶光傅里叶变换DTFT。
为什么叫离散韶光？由于只有韶光域是离散的，频域还不是。
同样的，对频域进行采样，采样序列为图8(8)，时域波形为图8(7)
这次是频域相乘，时域卷积了。
我们取图8(10)周期序列的主值区间，并记为X(k)，它便是序列x[n]的DFT(Discrete Fourier Transform)，即离散傅立叶变换。
总结如何弄清楚傅里叶变换？上文说了2000余字。总体的思想：傅里叶变换便是一种工具。
例如：在时域中无法区分的旗子暗记，或者不同用户的数据，我们可以在频域中区分或者解调出。
就像5G中利用FFT变换一样，把韶光-频率划分成多个资源块，就像这样。
图9 5G时频资源网格；来源网络
最好自己动手。
打开Matlab(如果你有的话，没有的话私信)，学会利用fft函数，当你能用fft函数画出自己想要的频谱时，当明白采样频率fs、采样点数N设置时，基本就明白了，不信可以试试哦。
参考文献想要画出精确的频谱图，不是直接调用MATLAB FFT函数那么大略
[2]https://www.cnblogs.com/BitArt/archive/2012/11/24/2786390.html
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